🗣 SL提问: 小熊推金币
✍️ Ai批改: 这是一个经典的博弈论问题!
你指的是“熊推硬币”问题还是“推硬币”问题?
以下是对该问题的简要描述:
问题:
一只熊和一只松鼠玩游戏。熊有两枚硬币:一个一分硬币和一个五分硬币。熊将这两枚硬币放在桌子上,松鼠可以选择拿走一枚或两枚硬币。如果松鼠拿走一枚硬币,熊将推剩下的硬币,松鼠将获得推出的硬币的价值。如果松鼠拿走两枚硬币,游戏结束,熊和松鼠都得到零分。
目标:
小熊的目标是最大化获得的硬币价值的预期值,而松鼠的目标是最小化熊的预期收益。
解决方案:
这个问题可以通过向后推理来解决。
如果熊推一分硬币,松鼠可以选择拿走一分硬币(给熊0)或五分硬币(给熊5)。如果熊推五分硬币,松鼠可以选择拿走五分硬币(给熊0)或一分硬币(给熊1)。
我们可以用以下矩阵表示这个博弈:
| | 松鼠拿一分硬币 | 松鼠拿五分硬币 |
| | | |
| 熊推一分硬币 | 0 | 5 |
| 熊推五分硬币 | 1 | 0 |
为了找到纳什均衡,我们需要找到一个策略,使得在对方策略固定的情况下,任一玩家都无法通过单方面改变策略而受益。
熊应该推哪枚硬币?
如果熊推一分硬币,松鼠的最佳回应是拿五分硬币(给熊5)。如果熊推五分硬币,松鼠的最佳回应是拿一分硬币(给熊1)。
为了最大化预期收益,熊应该随机化其策略以使松鼠无所谓选择哪枚硬币。
假设熊以概率 `p` 推一分硬币,以概率 `1-p` 推五分硬币。
如果松鼠拿一分硬币,其预期收益为:
`0 * p + 1 * (1-p) = 1-p`
如果松鼠拿五分硬币,其预期收益为:
`5 * p + 0 * (1-p) = 5p`
为了让松鼠对拿哪枚硬币无所谓,预期收益应该相等:
`1-p = 5p`
`1 = 6p`
`p = 1/6`
所以,熊应该以 1/6 的概率推一分硬币,以 5/6 的概率推五分硬币。
松鼠应该拿哪枚硬币?
给定熊的策略,松鼠应该随机化自己的策略,以使熊的预期收益相等。
假设松鼠以概率`q`拿一分硬币,以概率`1-q`拿五分硬币。
熊的预期收益为:
`(1/6) * (0 * q + 5 * (1-q)) + (5/6) * (1 * q + 0 * (1-q))`
简化后,我们得到:
`(1/6) * (5 5q) + (5/6) * q`
为了使熊的预期收益与其选择硬币的价值相等,我们可以设定:
`(1/6) * (5 5q) + (5/6) * q = (1/6) * 5/6 + (5/6) * 1/6`
求解`q`,我们得到:
`q = 1/6`
所以,松鼠应该以1/6的概率拿一分硬币,以5/6的概率拿五分硬币。
熊的预期收益:
在均衡状态下,熊的预期收益为:
`(1/6) * (0 * 1/6 + 5 * 5/6) + (5/6) * (1 * 1/6 + 0 * 5/6) = 5/6`
因此,熊的预期收益为 5/6。
直观的解释:
熊应该随机推硬币,以概率 1/6 推一分硬币,以概率 5/6 推五分硬币。通过这样做,熊的预期收益为 5/6,这是松鼠可以获得的最高收益。
同样,松鼠应该随机化其策略,以 1/6 的概率拿起一分硬币,以 5/6 的概率拿起五分硬币。这使得熊的预期收益为 5/6,并且熊无法通过选择不同的硬币来获得更多收益。
这是一个经典的博弈论问题,展示了如何使用混合策略纳什均衡来解决。
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搜索次数: 1
提问时间: 2025-06-18 14:38:46
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